Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 4 \\ 0 & - 4 & 2 \\ 1 & - 1 & 5 \end{array}]$

Langkah 1

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Langkah 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Langkah 1.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Langkah 1.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Langkah 1.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 1 & 5 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 1 & 5 \end{array} |$ .

$2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- 4 \cdot 5 - (- 1 \cdot 2)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$2 (- 20 - (- 1 \cdot 2)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.3.2.1.2

Kalikan $- (- 1 \cdot 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (- 20 - - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.3.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 (- 20 + 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.3.2.2

Tambahkan $- 20$ dan $2$ .

$2 \cdot - 18 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Langkah 1.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 18 + 0 + 1 (3 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 4))$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$2 \cdot - 18 + 0 + 1 (6 - (- 4 \cdot - 4))$

Langkah 1.4.2.1.2

Kalikan $- (- 4 \cdot - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$2 \cdot - 18 + 0 + 1 (6 - 1 \cdot 16)$

Langkah 1.4.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$2 \cdot - 18 + 0 + 1 (6 - 16)$

Langkah 1.4.2.2

Kurangi $16$ dengan $6$ .

$2 \cdot - 18 + 0 + 1 \cdot - 10$

Langkah 1.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 18$ .

$- 36 + 0 + 1 \cdot - 10$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$- 36 + 0 - 10$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $- 36$ dan $0$ .

$- 36 - 10$

Langkah 1.5.3

Kurangi $10$ dengan $- 36$ .

$- 46$

Langkah 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 4}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & - 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 - \frac{3}{2} & 5 + 2 & 0 - \frac{1}{2} & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & 7 & - \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 2 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & 7 & - \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & 7 & - \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & 0 \\ 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & 7 + \frac{5}{2} (- \frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \cdot 0 & 0 + \frac{5}{2} (- \frac{1}{4}) & 1 + \frac{5}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{23}{4} & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{8} & 1 \end{array}]$

Langkah 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{4}{23}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{4}{23}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{4}{23} \cdot 0 & \frac{4}{23} \cdot 0 & \frac{4}{23} \cdot \frac{23}{4} & \frac{4}{23} (- \frac{1}{2}) & \frac{4}{23} (- \frac{5}{8}) & \frac{4}{23} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{23} & - \frac{5}{46} & \frac{4}{23} \end{array}]$

Langkah 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} (- \frac{2}{23}) & - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{5}{46}) & 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{23} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{23} & - \frac{5}{46} & \frac{4}{23} \end{array}]$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{23} & - \frac{7}{23} & \frac{2}{23} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{23} & - \frac{5}{46} & \frac{4}{23} \end{array}]$

Langkah 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & \frac{3}{2} + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & \frac{1}{2} + 2 (- \frac{2}{23}) & 0 + 2 (- \frac{5}{46}) & 0 + 2 (\frac{4}{23}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{23} & - \frac{7}{23} & \frac{2}{23} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{23} & - \frac{5}{46} & \frac{4}{23} \end{array}]$

Langkah 4.7.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{15}{46} & - \frac{5}{23} & \frac{8}{23} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{23} & - \frac{7}{23} & \frac{2}{23} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{23} & - \frac{5}{46} & \frac{4}{23} \end{array}]$

Langkah 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{15}{46} - \frac{3}{2} (- \frac{1}{23}) & - \frac{5}{23} - \frac{3}{2} (- \frac{7}{23}) & \frac{8}{23} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{23} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{23} & - \frac{7}{23} & \frac{2}{23} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{23} & - \frac{5}{46} & \frac{4}{23} \end{array}]$

Langkah 4.8.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{9}{23} & \frac{11}{46} & \frac{5}{23} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{23} & - \frac{7}{23} & \frac{2}{23} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2}{23} & - \frac{5}{46} & \frac{4}{23} \end{array}]$

Langkah 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{23} & \frac{11}{46} & \frac{5}{23} \\ - \frac{1}{23} & - \frac{7}{23} & \frac{2}{23} \\ - \frac{2}{23} & - \frac{5}{46} & \frac{4}{23} \end{array}]$